소수와 합성수

CORE CONCEPT · 핵심 개념

자연수의 두 가지 분류

1보다 큰 자연수는 단 두 종류로 나뉩니다 — 소수 또는 합성수. 그리고 1은 둘 중 어디에도 속하지 않습니다.

DEFINITION · 정의

소수 (Prime number)

1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 소수라고 합니다.

예 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

DEFINITION · 정의

합성수 (Composite number)

1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신 외에도 다른 약수를 가지는 수를 합성수라고 합니다.

예 : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...

SPECIAL · 1은 예외

1은 소수도 합성수도 아닙니다

1의 약수는 자기 자신 하나뿐입니다. 약수가 단 1개이므로 소수(약수 2개)도 합성수(약수 3개 이상)도 아닙니다. 1은 수학에서 특별한 위치에 있습니다.

구분	약수의 개수	예시
1	약수가 1개	1
소수	약수가 정확히 2개 (1, 자기 자신)	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
합성수	약수가 3개 이상	4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ...

KEY INSIGHT · 짚고 갈 것

2는 유일한 짝수 소수입니다

2를 제외한 모든 짝수는 2로 나누어떨어지므로 약수가 적어도 3개입니다 (1, 2, 자기 자신). 따라서 짝수 중 소수는 오직 2뿐입니다. 가장 작은 소수이자, 단 하나의 짝수 소수.

EXAMPLES · 단계별 풀이

예제로 다지기

제목을 클릭하면 풀이가 펼쳐집니다. 한 단계씩 따라가며 사고 흐름을 익혀 보세요.

EXAMPLE 1 다음 수가 소수인지 합성수인지 판단하시오 — 23

23이 소수인지 합성수인지 판단하시오.

약수를 찾는다. 23을 1부터 차례로 나눠 보며 나누어떨어지는 수(=약수)를 찾습니다.
$23 \div 1 = 23$ ✓ (떨어짐) $23 \div 2 = 11.5$ ✗ $23 \div 3 \approx 7.67$ ✗ $23 \div 4 = 5.75$ ✗ ...

어디까지 확인하면 될까? $5 \times 5 = 25 > 23$이므로 5까지만 확인해도 됩니다. 그 이상은 자기 자신과의 곱이 23을 넘으므로 새로운 약수가 나올 수 없어요.

결론. 23을 나누어떨어지게 하는 수는 1과 23뿐입니다. 약수가 2개이므로 23은 소수.

23은 소수이다.

EXAMPLE 2 다음 수가 소수인지 합성수인지 판단하시오 — 51

51이 소수인지 합성수인지 판단하시오.

각 자릿수의 합을 확인. $5 + 1 = 6$. 자릿수의 합이 3의 배수이므로 51은 3의 배수입니다.

확인 계산. $51 \div 3 = 17$. 정확히 떨어집니다.

약수 정리. 51의 약수: 1, 3, 17, 51 → 약수가 4개이므로 합성수.

51은 합성수이다. (51 = 3 × 17)

EXAMPLE 3 30 이하의 자연수 중 소수의 개수는?

30 이하의 자연수 중에서 소수는 모두 몇 개인지 구하시오.

1은 제외. 약수가 1개뿐이라 소수가 아닙니다.

짝수 중 소수는 2뿐. 4, 6, 8, ..., 30은 모두 2의 배수라 합성수.

30 이하의 홀수를 점검.
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 → 모두 소수
9 = 3 × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7, 25 = 5 × 5, 27 = 3 × 9 → 합성수

2를 포함한 소수. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 → 총 10개.

30 이하의 소수의 개수는 10개.

PRACTICE · 난이도별 연습 문제

스스로 풀어보기

★ 기본부터 ★★★ 심화까지. 막히면 [풀이 보기]를 눌러 단계별 해설을 확인하세요.

★기본

★★응용

★★★심화

PROBLEM 01★ 기본

1부터 20까지의 자연수 중에서 소수를 모두 나열하시오.

SOLUTION · 풀이

먼저 1을 제외합니다 (1은 소수가 아님).

짝수 중에서는 2만 소수입니다. 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20은 모두 2의 배수이므로 합성수.

홀수를 점검:
• 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 → 1과 자기 자신 외에 약수 없음 → 소수
• 9 = 3 × 3, 15 = 3 × 5 → 합성수

점검 팁: 어떤 수 n이 소수인지 판단할 때는 $\sqrt{n}$ 이하의 소수로만 나눠 보면 충분합니다. 20 정도의 작은 수는 2, 3 두 소수로만 점검해도 OK.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — 총 8개

PROBLEM 02★ 기본

다음 수의 약수를 모두 구하고, 소수인지 합성수인지 답하시오.
(1) 17 (2) 28 (3) 1

SOLUTION · 풀이

(1) 17의 약수: 17 ÷ 1, 17 ÷ 17만 떨어짐.
→ 약수: 1, 17 (2개) → 소수

(2) 28의 약수: 28 ÷ 1 = 28, 28 ÷ 2 = 14, 28 ÷ 4 = 7, 28 ÷ 7 = 4, 28 ÷ 14 = 2, 28 ÷ 28 = 1.
→ 약수: 1, 2, 4, 7, 14, 28 (6개) → 합성수

(3) 1의 약수: 1 자신만 떨어짐. 약수가 1개이므로 소수도 합성수도 아니다.

주의: 1을 소수에 포함하지 않는 이유는, 그렇게 약속해야 "모든 자연수의 소인수분해가 단 한 가지 방식으로 결정된다"는 산술의 기본 정리가 성립하기 때문입니다.

(1) 1, 17 / 소수 (2) 1, 2, 4, 7, 14, 28 / 합성수 (3) 소수도 합성수도 아니다

PROBLEM 03★ 기본

다음 중 소수의 개수는 모두 몇 개인가?
$2,\ 9,\ 11,\ 15,\ 17,\ 21,\ 23,\ 27$

SOLUTION · 풀이

각 수에 대해 1과 자기 자신 외의 약수가 있는지 확인합니다.

• 2: 약수 1, 2 → 소수 ✓
• 9: 9 = 3 × 3 → 합성수
• 11: 약수 1, 11 → 소수 ✓
• 15: 15 = 3 × 5 → 합성수
• 17: 약수 1, 17 → 소수 ✓
• 21: 21 = 3 × 7 → 합성수
• 23: 약수 1, 23 → 소수 ✓
• 27: 27 = 3 × 9 → 합성수

소수: 2, 11, 17, 23 → 4개

소수의 개수는 4개.

PROBLEM 04★★ 응용

$30$ 이하의 자연수 중에서 약수가 정확히 2개인 수의 개수를 구하시오.

SOLUTION · 풀이

약수가 정확히 2개인 수 = 소수. 정의를 그대로 적용합니다.

30 이하의 소수를 찾으면:
$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29$

잘 잊는 것들: 9 = 3², 15 = 3×5, 21 = 3×7, 25 = 5², 27 = 3³은 모두 합성수입니다. 1은 약수가 1개라 제외.

10개

PROBLEM 05★★ 응용

두 자리의 자연수 중에서 가장 작은 소수와 가장 큰 소수의 합을 구하시오.

SOLUTION · 풀이

두 자리 수의 범위: 10 ~ 99.

가장 작은 두 자리 소수: 10(=2·5)부터 차례로 점검.
10, 12, 14, 15, 16, 18은 모두 합성수. 11은 1과 11만이 약수 → 소수 ✓

가장 큰 두 자리 소수: 99부터 거꾸로 점검.
99 = 9·11, 98 = 2·49, 97: 97 ÷ 2,3,5,7로 나눠도 안 떨어짐 ($\sqrt{97} \approx 9.85$이므로 9 이하 소수 2,3,5,7만 확인) → 소수 ✓

합: $11 + 97 = 108$

108

PROBLEM 06★★ 응용

$1$부터 $50$까지의 자연수 중에서 소수의 개수와 합성수의 개수를 각각 구하시오.

SOLUTION · 풀이

소수 나열: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 → 15개

전체 자연수: 1 ~ 50까지 50개.

분류:
• 1은 소수도 합성수도 아님 → 1개
• 소수 → 15개
• 합성수 → $50 - 1 - 15 = 34$개

자연수의 분류 : $\text{전체} = 1 + (\text{소수}) + (\text{합성수})$

소수 15개, 합성수 34개

PROBLEM 07★★★ 심화

두 자리의 자연수 $\overline{ab}$가 있다 (이때 $a$, $b$는 각 자릿수). 각 자릿수의 합 $a+b=7$이고, $\overline{ab}$가 소수일 때 가능한 모든 $\overline{ab}$를 구하시오.

SOLUTION · 풀이

조건 정리: 두 자리 자연수이므로 $a \in \{1,2,\ldots,9\}$, $b \in \{0,1,\ldots,9\}$. 그리고 $a+b=7$.

$a+b=7$을 만족하는 두 자리 수 나열:
$16, 25, 34, 43, 52, 61, 70$

각 수의 소수 판별:
• $16 = 2^4$ → 합성수
• $25 = 5^2$ → 합성수
• $34 = 2 \cdot 17$ → 합성수
• $43$ : 2,3,5로 나눠지지 않고 $\sqrt{43} \approx 6.56$, 7로도 안 떨어짐 → 소수 ✓
• $52 = 2^2 \cdot 13$ → 합성수
• $61$ : 2,3,5,7로 나눠지지 않고 $\sqrt{61} \approx 7.8$ → 소수 ✓
• $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$ → 합성수

핵심 팁: 두 자리 수가 소수인지 판별할 때는 $\sqrt{99} < 10$이므로 2, 3, 5, 7 네 소수로만 나눠보면 충분합니다.

43, 61

PROBLEM 08★★★ 심화

자연수 $n$에 대하여 $f(n) = n^2 + n + 11$이라 하자. $n = 1, 2, 3, \ldots$에 차례로 대입했을 때, $f(n)$이 소수가 아닌 가장 작은 자연수 $n$을 구하시오.

SOLUTION · 풀이

차례로 대입:
$f(1) = 1 + 1 + 11 = 13$ → 소수
$f(2) = 4 + 2 + 11 = 17$ → 소수
$f(3) = 9 + 3 + 11 = 23$ → 소수
$f(4) = 16 + 4 + 11 = 31$ → 소수
$f(5) = 25 + 5 + 11 = 41$ → 소수
$f(6) = 36 + 6 + 11 = 53$ → 소수
$f(7) = 49 + 7 + 11 = 67$ → 소수
$f(8) = 64 + 8 + 11 = 83$ → 소수
$f(9) = 81 + 9 + 11 = 101$ → 소수
$f(10) = 100 + 10 + 11 = 121$

$f(10) = 121$ 판정: $121 = 11 \times 11 = 11^2$ → 합성수 ✓

흥미로운 패턴: 이 다항식은 $n = 1$부터 $9$까지 9개의 연속된 소수를 만들어냅니다. 오일러가 발견한 비슷한 다항식 $n^2 + n + 41$은 무려 $n = 0$부터 $39$까지 40개의 연속된 소수를 만듭니다!

$n = 11$을 답으로 착각하기 쉽습니다. 하지만 $f(10) = 121$이 이미 $11^2$이므로 합성수입니다. $11$은 소수의 인수일 뿐, $f(n)$ 자체가 합성수가 되는 가장 작은 $n$은 $10$.

$n = 10$

12개의 사탕과 13개의 사탕

12개의 사탕

13개의 사탕

자연수의 두 가지 분류

소수 (Prime number)

합성수 (Composite number)

1은 소수도 합성수도 아닙니다

2는 유일한 짝수 소수입니다

에라토스테네스의 체

1 ~ 50 사이의 소수 찾기

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오늘 배운 것

소수

합성수

1의 위치

유일한 짝수 소수